正定矩阵是对称矩阵吗

不一定是对称的。正定矩阵在实数域上是对称矩阵，在复数域上是厄米特矩阵(共轭对称)。对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。

正定矩阵有以下性质

（1）正定矩阵的行列式恒为正。

（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同。

（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵。

（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵。

（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：

（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。