两两正交的单位向量有什么性质

问题描述

精选答案

两两正交的单位向量具有以下性质：

1. 互相垂直：两两正交的向量之间的夹角为90度，也就是彼此垂直。

2. 长度为1：单位向量的长度为1，即它们的模长为1，因此它们是规范化的向量。

3. 线性无关：两两正交的向量是线性无关的，意味着它们不可由其他向量的线性组合表示。

4. 构成正交基：如果一组向量两两正交，并且向量数量等于空间的维度，则这组向量可以构成一组正交基，即可以用来表示空间中的任意向量。这是因为正交基所生成的空间具有最大维度，任意向量都可以由该基中的向量线性组合得到。

5. 线性无穷完备性：对于向量空间中的任意向量，均可以表示为正交向量的线性组合。这是正交向量的一个重要性质，使得它们在数学和物理中有广泛的应用。

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两两正交的单位向量具有以下性质：

1. 互相垂直：两两正交的单位向量之间互相垂直，即它们的点积为零。

2. 长度为1：单位向量的长度为1，表示它们的模为1，因此它们是标准正交向量。

3. 构成一组基：如果一个向量空间的维数等于正交基向量的数量，且这些正交基向量都是单位向量，那么它们可以作为该向量空间的一组基。

4. 容易计算：由于单位向量具有长度为1，所以进行计算时，不需要额外考虑向量的长度，只需要考虑向量的方向。这样可以减少计算的复杂性。

5. 方向独立：两两正交的单位向量之间的方向是相互独立的，它们可以在不受其他向量限制的情况下自由调整方向。因此，可以使用正交单位向量对向量空间进行分解和描述。

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设有两个n维向量α,β,若它们的内积等于零,则称这两个向量互相正交,记为α⊥β.显然若α⊥β,则β⊥α。