超几何分布期望时概率最大吗

问题描述

精选答案

是的，超几何分布期望时概率最大。

超几何分布是描述在有限个物品中，从中无放回地抽取固定数量的物品后，成功事件出现的次数的概率分布。其期望为 $E(X) = frac{nK}{N}$，其中 $n$ 表示抽取的物品总数，$K$ 表示成功物品的数量，$N$ 表示总物品数。为了证明期望时概率最大，可以先求超几何分布的概率密度函数：$$P(X=k) = frac{binom{K}{k}binom{N-K}{n-k}}{binom{N}{n}}$$其中 $binom{a}{b}$ 表示从 $a$ 个物品中选取 $b$ 个物品的组合数。则超几何分布期望为：$$E(X) = sum_{k=0}^n kP(X=k) = sum_{k=1}^n kfrac{binom{K}{k}binom{N-K}{n-k}}{binom{N}{n}}$$对 $E(X)$ 求导数：$$frac{dE(X)}{dk} = frac{binom{K}{k}binom{N-K}{n-k}}{binom{N}{n}} + kfrac{binom{K}{k-1}binom{N-K}{n-k+1}}{binom{N}{n}} - kfrac{binom{K}{k}binom{N-K}{n-k}}{binom{N}{n}}$$化简得：$$frac{dE(X)}{dk} = frac{binom{K}{k-1}binom{N-K}{n-k+1}}{binom{N}{n}} - frac{binom{K}{k}binom{N-K}{n-k}}{binom{N}{n}}$$当 $k=frac{nK}{N}$ 时，$frac{dE(X)}{dk}=0$，即此时概率最大。因此，超几何分布期望时概率最大。

其他回答

网络科技助手

期望是概率上的均值，一般情况下，他大致在最大概率发生的事件附近，但不一定就是最大概率 。

总体中成功的个数为M,抽样时不放回,抽样次数为n,则当样本中成功的个数为k=(n*M)/N时,超几何分布的概率最大。

其他回答

小川考研录

有这样的猜测：样本个数越大超几何分布和二项分布的对应概率相差就越小，当样本个数为无穷大时，超几何分布和二项分布的对应概率就相等，换而言之超几何分布的极限就是二项分布。