等差数列平方和公式推导过程

问题描述

精选答案

下面是等差数列平方和公式的推导过程：

假设等差数列的首项为a，公差为d，共有n个项。我们的目标是求解等差数列的前n个数的平方和。

首先，表示等差数列的第k个项为a_k。由等差数列的性质可知：

a_1 = a （首项）

a_2 = a + d （第二项）

a_3 = a + 2d（第三项）

...

a_n = a + (n-1)d （第n项）

然后，我们计算每个项的平方，得到：

a_1^2 = a^2

a_2^2 = (a+d)^2

a_3^2 = (a+2d)^2

...

a_n^2 = (a+(n-1)d)^2

现在我们将这些项的平方相加：

a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2 = a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + ... + (a+(n-1)d)^2

我们可以对这个求和式进行展开和化简：

a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2 = na^2 + 2ad + 2a(2d) + ... + 2a(n-1)d + (d^2 + 4d^2 + 9d^2 + ... + (n-1)^2d^2)

对于最后一项，我们观察到其中的d^2是一个公共项，可以提取出来：

a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2 = na^2 + 2ad + 2a(2d) + ... + 2a(n-1)d + d^2(1 + 4 + 9 + ... + (n-1)^2)

接下来，我们来处理最后一项括号中的求和式。这是一个平方数的求和，可以用平方和公式进行简化。平方和公式为：

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6

将求和式代入得：

a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2 = na^2 + 2ad + 2a(2d) + ... + 2a(n-1)d + d^2(n(n-1)(2n-1)/6)

继续化简并整理项：

a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2 = na^2 + d(2a + 4a + ... + 2(n-1)a) + (1/6)d^2(n(n-1)(2n-1))

再次进行化简和整理：

a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2 = na^2 + d(2(a + 2a + ... + (n-1)a)) + (1/6)d^2(n^3 - n)

最后，继续简化得到等差数列的平方和公式：

a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2 = (n/6)[2a + (n-1)d][(n/2)a + (n-1)d]

这就是等差数列的平方和公式的推导过程。通过这个公式，我们可以求解等差数列前n项的平方和而无需逐项相加。