线面垂直的判定定理

问题描述

精选答案

如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

l与α内两条相交直线a，b都垂直，求证：l⊥α

证明：与a或b平行的直线必垂直l，因此接下来的讨论围绕与a，b不平行的直线进行。

先将a，b，l平移至相交于O点，过O作任意一条直线g，在g上取异于O的点G，过G作GB∥a交b于B，过G作GA∥b交a于A。连接AB，设AB与OG交点为C

∵OA∥GB,OB∥GA

∴四边形OAGB是平行四边形

∴C是AB中点

由中线定理，OA²+OB²=2OC²+2AC²

在l上取异于O的点D，连接DA,DB，由中线定理

DA²+DB²=2DC²+2AC²

两式相减可得

DA²-OA²+DB²-DB²=2DC²-2OC²

又注意到OD⊥OA,OD⊥OB

∴得OD²+OD²=2DC²-2DC²

即CD²=OD²+OC²

∴OD⊥OC

由g的任意性可知，l与α内任意直线都垂直

∴l⊥α