二元函数通解怎么求

问题描述

精选答案

特征方程

2r^2+5r=0

r=0,r=-5/2

所以齐次通解为y=C1+C2e^(-5/2)

设特解是y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

y'=4ax^3+3bx^2+2cx+d

y''=12ax^2+6bx+2c

代入原方程得

2(12ax^2+6bx+2c)+5(4ax^3+3bx^2+2cx+d)=5x^2-2x-1

整理得

20ax^3+(24a+15b)x^2+(12b+10c)x+4c+5d=5x^2-2x-1

比较系数得

20a=0

24a+15b=5

12b+10c=-2

4c+5d=-1

解得a=0,b=1/3,c=-3/5,d=7/25,e=C

因此特解是y=1/3x^3-3/5x^2+7/25x+C

所以通解为

y=C1+C2e^(-5/2)+1/3x^3-3/5x^2+7/25x+C

是d，二阶方程的通解含有2个待定系数

a有3个系数，所以是3阶方程，b有一个系数，所以是1阶方程

c可以写成y = lnc1 + lnx + lnc2 + lnsinx 其中lnc1和lnc2可以合并成一个，所以也是一阶方程，当然如果两个地方都是c1那更是一阶方程了。

只有d的c1和c2不能合并，所以是二阶方程的通解。