xsinx的0到派定积分公式技巧

问题描述

精选答案

要计算函数$f(x) = x

sin(x)$在区间$[0,

pi]$上的定积分，可以使用分部积分法。

首先，我们将$f(x)$拆分为两个函数的乘积：$u = x$和$dv =

sin(x)dx$。

然后，我们对$u$求导得到$du = dx$，对$v$积分得到$v = -

cos(x)$。

根据分部积分公式，我们有：

$$

int u dv = uv -

int v du$$

将上述结果代入，得到：

$$

int x

sin(x)dx = -x

cos(x) +

int

cos(x)dx$$

对$

int

cos(x)dx$进行积分，得到$

sin(x)$。

最终，我们得到：

$$

int x

sin(x)dx = -x

cos(x) +

sin(x)$$

将上述结果代入区间$[0,

pi]$，我们可以计算出定积分的值。

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解：∵sin²x=(1-cos2x)/2，

∴∫x²sin²xdx

=∫x²(1-cos2x)dx/2

=x³/6-(1/4)∫x²d(sin2x)。

而，∫x²d(sin2x)

=x²sin2x-∫2xsin2xdx

=x²sin2x+xcos2x-∫cos2xdx

=x²sin2x+xcos2x-(1/2)sin2x+C，

∴∫(0,π)x²sin²xdx

=[x³/6-(1/4)(x²sin2x+xcos2x)+(1/8)sin2x]丨(x=0,π)

=π³/6-π/4。