圆的周长和面积的公式是怎样推导出来的

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精选答案

1、用长方形面积推导：将圆n等分,然后将小扇形拼成长方形,长方形的长等于圆周长的一半,即πr,长方形的宽等于圆的半径r,因为长方形的面积＝长×宽,所以 圆的面积＝πr×r =πr².

2、用三角形面积推导：将圆n等分,得到n个小扇形,将其近似于三角形,底边为2πr,高为r,小扇形面积Sn=πr²,将n个Sn=πr²加起来就得到圆的面积S=πr²∑1=πr²(n个1加起来等于1）

3、用定积分推导：设圆心在原点,半径为r.用第一象限四分之一圆的面积乘4.y=√(r²-x²),则圆的面积S=4∫（0,r)ydx=4∫（0,r)√(r²-x²)dx=4[x√(r²-x²)/2+r²arcsin(x)/2](0,r) 用x=r代入上式减去x=0代入上式,即可得S=πr²

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小小环保工程师

圆的周长公式和面积公式都是通过转化的方法推导出来的。圆的周长公式是通过“化曲为直”的方法，先把一个圆开滚动一周，或用线绳绕一圈，再拉直量出周长与直径的关系，得出:圆的周长C=兀d=2兀r。圆的面积公式是通过“化圆为方”的方法得出的。把圆沿着半径平均分成若干份(8份、16份、32份、64份……)，拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，即圆的面积S=1/2xcxr=1/2ⅹ2兀rⅹr=兀xrxr，即兀乘半径的平方。

其他回答

工程师研习社

（1）圆的周长与直径的比值叫作圆周率，圆周率是一个固定不变的值，用π表示。即

圆的周长/直径＝圆周率，用字母表示为

c＝πd＝2πr

（2）将圆沿半径切割成若干等份(越多越好且是偶数等份)(分成若干扇形)

将扇形拼成一个近似长方形的图形.(越多越接近长方形)

长方形的面积=长×宽,这个拼成的长方形的长是圆周长的一半,宽是圆的半径r,，因此得到圆的面积的计算公式为S=2π（r的平方)