幂平均不等式的公式

问题描述

精选答案

函数y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)

值域 (0 , +∞) f(x) ＞ 0

一阶导数 (q/p)*x^( (q-p)/p )

二阶导数 ( (q² - pq)/p² )*x^( (q - 2p)/p )

p＞q＞0 图像性质 凸函数

0＞p＞q 图像性质 凹函数

p＞0 , q＜0 图像性质 凹函数

利用函数y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0) 的性质结合Jensen不等式来证明幂平均不等式。

回顾Jensen不等式：

Ai ≥ 0时 且 A1 + A2 + ...... + An = 1

若函数f(x)是凹函数则有：

f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≤ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1

若函数f(x)是凸函数则有：

f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≥ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1

等号成立条件 X1 = X2 = ...... = Xn