函数奇偶数的判断方法

问题描述

精选答案

判断一个函数是奇函数还是偶函数，主要依据函数的定义域和函数值的关系。

奇函数的定义：

如果对于函数

f(x)

f(x)的定义域内的任意

x

x，都有

f(-x) = -f(x)

f(−x)=−f(x)，则称

f(x)

f(x)为奇函数。

偶函数的定义：

如果对于函数

f(x)

f(x)的定义域内的任意

x

x，都有

f(-x) = f(x)

f(−x)=f(x)，则称

f(x)

f(x)为偶函数。

基于上述定义，可以按照以下步骤来判断一个函数是奇函数还是偶函数：

确定函数的定义域：

首先，需要明确函数的定义域。定义域必须关于原点对称，即如果

x

x在定义域内，那么

-x

−x也必须在定义域内。如果定义域不关于原点对称，那么函数既不是奇函数也不是偶函数。

计算

f(-x)

f(−x)：

然后，计算

f(-x)

f(−x)的表达式。

比较

f(-x)

f(−x)和

f(x)

f(x)或

-f(x)

−f(x)：

最后，比较

f(-x)

f(−x)和

f(x)

f(x)或

-f(x)

−f(x)的关系。

如果

f(-x) = f(x)

f(−x)=f(x)，则函数是偶函数。

如果

f(-x) = -f(x)

f(−x)=−f(x)，则函数是奇函数。

如果两者都不满足，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

例如，考虑函数

f(x) = x^2

f(x)=x

2

定义域为全体实数，关于原点对称。

f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)

f(−x)=(−x)

2

=x

2

=f(x)。

因此，

f(x) = x^2

f(x)=x

2

是偶函数。

再例如，考虑函数

f(x) = x^3

f(x)=x

3

定义域为全体实数，关于原点对称。

f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)

f(−x)=(−x)

3

=−x

3

=−f(x)。

因此，

f(x) = x^3

f(x)=x

3

是奇函数。

注意：有些函数可能既不是奇函数也不是偶函数，例如

f(x) = x + 1

f(x)=x+1。在这种情况下，

f(-x)

eq f(x)

f(−x)



=f(x)且

f(-x)

eq -f(x)

f(−x)



=−f(x)。