求:椭圆通径公式的推导过程

问题描述

精选答案

推导椭圆通径公式的过程如下：

假设在直角坐标系中，椭圆的长轴为2a，短轴为2b。椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c。

我们需要推导出椭圆的通径公式，即任意两条平行于椭圆的直线（通过椭圆的中心点）之间的距离d。

1. 假设我们取椭圆上的两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)。这两个点到焦点F1和F2的距离分别为r1和r2。

2. 根据椭圆的定义，任意一点到两个焦点的距离之和等于2a（椭圆的长轴），即r1 + r2 = 2a。

3. 我们可以求得r1和r2的表达式。由直角三角形性质可知，r1^2 = (x1 - c)^2 + y1^2，r2^2 = (x2 + c)^2 + y2^2。

4. 将r1和r2的表达式代入到等式r1 + r2 = 2a中，得到如下等式：

(x1 - c)^2 + y1^2 + (x2 + c)^2 + y2^2 = (2a)^2

5. 展开上述等式，进行简化：

x1^2 - 2cx1 + c^2 + y1^2 + x2^2 + 2cx2 + c^2 + y2^2 = 4a^2

6. 合并同类项，得到如下等式：

x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2 + 2cx2 - 2cx1 + 2c^2 = 4a^2

7. 在第6步的等式中，我们可以观察到x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2可以转化为点P1和P2的距离d^2，即：d^2 = x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2。

8. 将第7步的等式进行代入，得到如下等式：

d^2 + 2cx2 - 2cx1 + 2c^2 = 4a^2

9. 移动项，得到椭圆通径公式：

d^2 = 4a^2 - 2cx2 + 2cx1 - 2c^2

10. 最后，将c^2替换为a^2 - b^2（根据焦距和椭圆的定义），得到最终的椭圆通径公式：

d^2 = 4a^2 - 2cx2 + 2cx1 - 2(a^2 - b^2) = 2(a^2 + b^2) + 2cx1 - 2cx2

至此，我们推导出椭圆通径公式。需要注意的是，在实际计算中，可以使用该公式来求得椭圆上任意两点之间的距离。

其他回答

自考答疑解惑

推导椭圆通径的公式需要使用椭圆的定义和性质，以及一些数学知识。

以下是推导过程的概述：

1. 定义椭圆：椭圆是所有到两个给定焦点距离之和等于常数的点的轨迹。

2. 定义椭圆的焦点和半长轴、半短轴：椭圆有两个焦点，定义为 F1 和 F2；半长轴定义为 a，半短轴定义为 b。

3. 定义椭圆上任意一点 P 的坐标：设椭圆的焦点为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)，椭圆上任意一点 P 的坐标为 P(x,y)。

4. 根据椭圆的定义，得出点 P 到 F1 和 F2 的两个距离之和等于常数：PF1 + PF2 = 2a。根据点的距离公式，可以得到：

sqrt((x + c)^2 + y^2) + sqrt((x - c)^2 + y^2) = 2a

5. 针对上述方程进行求解和变形，最终可以得到椭圆通径的公式：

4a^2 = (x + c)^2 + y^2 + (x - c)^2 + y^2

化简后，

4a^2 = 2(x^2 + y^2) + 2c^2

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 （将a^2和b^2分别看作椭圆的横纵轴的平方）

通过上述推导过程，我们得到了椭圆通径的公式表达式。

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推导过程

答案

通径是过焦点的垂线的截线长：

设A(c,y0) B(c,-y0)

代入x^2/a^2+y^2/b^2=1中：

c^2/a^2+y0^2/b^2=1

移项得：

y0^2=b^2*[(a^2-c^2)/a^2]

=b^4/a^2

令y0＞0 得b^2/a

故通径AB=|y0-(-y0)|=2y0=2b^2/a