基础解系和通解怎么求

问题描述

精选答案

对于一个线性方程组，其基础解系和通解的求解方法如下：首先，我们需要找到方程组中的自由变量。自由变量是在方程组中没有等式约束的变量。假设我们有 n 个变量，其中 r 个是自由变量，那么我们可以通过以下步骤找到基础解系和通解：将方程组的系数矩阵 A 和常数向量 b 输入。使用初等行变换将 A 转化为行最简形式。找出自由变量。在行最简形式中，如果某一行的第一个非零元素在列中没有对应的等式约束，那么这个变量就是自由变量。对于每个自由变量，可以将其取值为任意实数（除0外），而将其余的变量用自由变量表示。这个表达式就是基础解系。所有基础解系的线性组合构成了通解。以一个具体的例子来说明：考虑以下线性方程组：x1 + 2x2 + 3x3 = 64x1 + 5x2 + 6x3 = 15我们将其写成矩阵形式 Ax = b，其中 A 是系数矩阵，b 是常数向量：A = [1 2 3; 4 5 6]b = [6; 15]首先，我们使用初等行变换将 A 转化为行最简形式：通过两步行变换，我们得到：A' = [1 0 -1; 0 1 2]b' = [6; 9]在这个形式下，x2 和 x3 是自由变量。我们可以选择 x2 = 1 和 x3 = -2，然后将它们代入原方程组得到基础解系：x1 = 3, x2 = 1, x3 = -2同样地，所有基础解系的线性组合构成了通解：x1 = 3t, x2 = t, x3 = -2t (其中 t 是任意实数)