三次函数对称点的求法

问题描述

精选答案

三次函数的拐点就是三次函数的对称中心

拐点求法：

设三次函数 y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d a不为0

则y'=3ax^2+2bx+c

y''=6ax+2b

由a不为0

显然

当 x=-b/3a 附近 y''有正有负 也就是 x=-b/3a 是三次曲线凹弧和凸弧的分界点

从而点(-b/3a,f(-b/3a))是三次函数的拐点 也是三次函数的对称中心

三次函数一定是中心对称吗

三次函数的图像一定是中心对称图形，其对称中心是（-a1/a0,f(-a1/a0));

最高次数项为3的函数，形如y=ax+bx+cx+d（a≠0,b,c,d为常数）的函数叫做三次函数(cubics function)。 三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线（不同于普通抛物线）。

三次函数性态的五个要点：

⒈三次函数y=f(x）在（-∞，+∞）上的极值点的个数

⒉三次函数y=f（x）的图象与x 轴交点个数

⒊单调性问题

⒋三次函数f（x）图象的切线条数

⒌融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围

其他回答

IT科技漫观点

求导最为简单，

三次函数的对称中心在函数上,横坐标为-b/3a,

证明：

f(x)=x³+ax²+bx+c

设两个点(-b/3a+t,f(-b/3a+t) ) ,(-b/3a-t,f(-b/3a-t) )

f(-b/3a+t)-f(-b/3a)=at^3+[3a*b^2/9a^2+2b*(-b/3a)+c]t

同理,

f(-b/3a-t)-f(-b/3a)=-at^3-[3a*b^2/9a^2+2b*(-b/3a)+c]t

故f(-b/3a+t)-f(-b/3a)=f(-b/3a-t)-f(-b/3a)

故以(-b/3a,f(-b/3a) )为对称中心。

三次函数极值计算

其导数为

易证当

有两个不相等的实数根时，f(x)具有极大值和极小值。而当

有两个相等的实数根或没有实数根时，f(x)不具有极值。

若f(x)有极值，设在

和

处取得，则满足关系式

因此以下用

来介绍两种求三次函数极值的方法。

代入原方程法

该方法为高中学生必须掌握的方法，即通过解方程，将所得解x1与x2代入f(x)中得到极值。

解

得

因此极大值：

极小值：

该方法简洁明了，但存在一个问题，即如果解出来的x1与x2十分复杂（如含有根式，或数字较大等），代入f(x)中计算乘方将是一件不容易的事。