中间位移瞬时速度公式怎么推导

问题描述

精选答案

中间位移瞬时速度的公式是指一个物体在某一时刻的瞬时速度，它可以用微积分的方法来推导。

首先，我们知道速度的定义是位移随时间的导数，即：

[ v(t) =

frac{dx(t)}{dt}

]

其中，

( v(t)

) 表示时刻

( t

) 的瞬时速度，

( x(t)

) 表示物体在时刻

( t

) 的位移。

现在，我们来推导中间位移的瞬时速度公式。假设物体在时刻

( t_1

) 和

( t_2

) 之间发生位移，那么在这个时间段内的平均速度为：

[

ext{平均速度} =

frac{

ext{位移}}{

ext{时间}} =

frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}

]

我们希望求得物体在时刻

( t

) 的瞬时速度，即时间间隔趋近于零的极限。我们让

( t_1

) 接近

( t

)，

( t_2

) 接近

( t

)，即：

[ v(t) =

lim_{t_1

o t,t_2

o t}

frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}

]

现在，我们可以应用极限的性质来进一步推导。由于

( x(t)

) 是一个连续函数，我们可以用导数来表示位移

( x(t_2) - x(t_1)

)。根据极限的定义，我们有：

[ v(t) =

lim_{t_1

o t,t_2

o t}

frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} =

lim_{t_1

o t,t_2

o t}

frac{

frac{dx(t)}{dt}

cdot (t_2 - t_1)}{t_2 - t_1}

]

现在，

( t_2 - t_1

) 被约去，得到：

[ v(t) =

lim_{t_1

o t,t_2

o t}

frac{

frac{dx(t)}{dt}}{1} =

frac{dx(t)}{dt}

]

所以，中间位移瞬时速度的公式为

( v(t) =

frac{dx(t)}{dt}

)。

为什么有平方？这是因为位移的导数是速度，速度的导数是加速度。在上述推导中，我们将位移对时间的变化率表示为速度（即位移的导数），所以有一个一次导数的结果。如果我们继续推导，将速度对时间的变化率表示为加速度，那么就会得到加速度的二次导数。这就是为什么在运动学中经常涉及到一阶和二阶导数，从而导致了平方的出现。

其他回答

考研全知道

1. 中间位移瞬时速度公式的推导是基于物理学中的运动学概念和数学推导。

2. 在运动学中，瞬时速度是指物体在某一时刻的瞬时速度，可以通过求导数的方式得到。对于一维运动，中间位移瞬时速度公式可以表示为v = lim(Δs/Δt)，其中v表示瞬时速度，Δs表示位移的变化量，Δt表示时间的变化量。 为什么有平方呢？这是因为位移和时间都是与运动的平方关系相关的。位移的平方与时间的平方成正比，这是由于运动的加速度导致的。在运动学中，加速度是速度对时间的变化率，即a = dv/dt。通过对加速度进行积分，可以得到位移与时间的关系，即s = ∫v dt。由于加速度是速度对时间的变化率，所以加速度与时间的关系可以表示为a = dv/dt = d²s/dt²。将这个关系代入位移与时间的关系中，可以得到s = ∫v dt = ∫(dv/dt) dt = ∫a dt = 1/2 a t²。所以，位移与时间的平方成正比。

3. 中间位移瞬时速度公式的推导是基于一维运动的情况，对于二维或三维运动，速度的计算需要考虑各个方向上的分量。此外，中间位移瞬时速度公式也可以通过牛顿第二定律和力学能量守恒定律进行推导。这些推导过程都是基于物理学的基本原理和数学方法，可以进一步深入研究和学习。

其他回答

考研全知道

设初末速度分别为v1v，加速度为a，两段位移均为s，中间位置的瞬时速度为v，由匀变速运动的速度-位移关系，v^2-v1^2=2as，v2^2-v^2=2as。

联立得：中间位置的瞬时速度：v=根号下(v1^2+v2^2)/2。