三重积分的五种常见积分区域

问题描述

精选答案

1、球面：x^2+y^2+z^2=R^2，球心在(0,0,0)，半径为R。

球面坐标系下方程为r=R，x^2+y^2+z^2=2Rz，球心在(0,0,R)，半径为R。球面坐标系下方程为r=2RcosΦ。

2、圆柱面：x^2+y^2=R^23、圆锥面：z=√(x^2+y^2)，半顶角为π/4。球面坐标系下方程为Φ=π/4。

4、抛物面：z=x^2+y^25、平面：ax+by+cz+d=0设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ。若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)。则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。