两个平面方程关系判断方法

问题描述

精选答案

如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

几何语言：a⊂α，b⊂α，且a∩b=A，a∥β，b∥β。则α∥β。反证法证明：假设这两个平面不平行，那么它们相交，设交线为l。∵a∥β∴a与β无交点同理，b与β无交点∵l是两个平面的交线，l⊂β∴a与l无交点，b与l无交点，那么它们平行或异面。又∵a⊂α，b⊂α，l⊂α，即它们不异面∴a∥l，b∥l∴a∥b这与已知条件a∩b=A矛盾，因此假设不成立，α∥β向量法证明：设直线a，b的方向向量为a，b，平面β的法向量为p。∵a∥β，b∥β∴a⊥p，b⊥p，即a·p=0，b·p=0∵a，b是α内两条相交直线∴设有任一向量c⊂α，根据平面向量基本定理可知，存在一对有序数对（x,y）使得c=xa+yb那么p·c=p·（xa+yb）=xp·a+yp·b=0即p⊥c由c的任意性可知p与α内任一向量都垂直，即p也是α的法向量。∴α∥β这与已知条件a∩b=A矛盾，因此假设不成立，α∥β向量法证明：设直线a，b的方向向量为a，b，平面β的法向量为p。∵a∥β，b∥β∴a⊥p，b⊥p，即a·p=0，b·p=0∵a，b是α内两条相交直线∴设有任一向量c⊂α，根据平面向量基本定理可知，存在一对有序数对（x,y）使得c=xa+yb那么p·c=p·（xa+yb）=xp·a+yp·b=0即p⊥c由c的任意性可知p与α内任一向量都垂直，即p也是α的法向量。∴α∥β