二次微分方程通解公式

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精选答案

标准形式 y″+py′+qy=0特征方程 r^2+pr+q=0通解1.两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)2.两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)3.共轭复根r=α+iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)标准形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)解法通解=非齐次方程特解+齐次方程通解对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x) 的特解y*具有形式其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2. 将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。

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金融考研上岸学姐

y''+a1y'+a2y=0，其中a1、a2为实常数。

对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。

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古诗词学习

求微分方程 y''+2y'+y=5e^(-x)的通解

解：齐次方程 y''+2y'+y=0的特征方程 r²+2r+1=(r+1)²=0的根r₁=r₂=-1；因此齐次方程的

通解为：y=[e^(-x)](c₁+c₂x);

因为原方程右边的5e^(-x)中的指数所含 -1正好是特征方程的重根，因此要设特解为：

y*=ax²e^(-x)..........①

y*'=2axe^(-x)-ax²e^(-x)=a(2x-x²)e^(-x)............②

y*''=a(2-2x)e^(-x)-a(2x-x²)e^(-x)=a(2-4x+x²)e^(-x)............③

将①②③代入原式得：a[(2-4x+x²)+2(2x-x²)+x²]e^(-x)=5e^(-x)

即有 2a=5，故a=5/2；∴特解 y*=(5/2)x²e^(-x)；

故原方程的通解为：y=[(c₁+c₂x+(5/2)x²]e^(-x);

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