矩阵乘法什么时候可交换

问题描述

精选答案

前面的朋友说得都非常好，我从

线性变换

的角度说一下矩阵乘法的不可交换性。

线性变换的乘法:

首先考虑两个线性变换

A

和

B

(在给定一组基下，它们所对应的矩阵是A和B)，对某向量x，我们定义

先

对它进行

A

变换，得到的结果

后

进行

B

变换，记为:

BA

(

x

):=

B

(

A

(

x

))

而

先

B

后

A

我们记为:

AB

(

x

):=

A

(

B

(

x

))

以上两者在给定一组基下，可以对应对矩阵的运算，即(BA)x和(AB)x.

线性变换的几何意义

比如说，线性变换可以将一个正方体映射为一个平行六面体，可以将某个几何体投影到某平面上(这反映到矩阵中就是不满秩的)。

总而言之，就是在特定的几个方向进行伸缩

。

(特定的几个方向实际上与特征向量有关)

说明

两线性变换的乘法交换的结果对x的作用一般是不同的。

比如恰好

A

把x所在的线性子空间“压缩”为零空间（x是

A

核中的元素）；而对于

B

并非如此此，

B

x非但不为零，并且不在的

A

核中，于是我们有:

BA

(

x

)=

B

(

A

(

x

))=

B

(

0

)=

0

但是

AB

(

x

)=

A

(

B

(

x

))非零

用这个思路可以举出无数的例子。

补充:

在上面讲述的过程中，我为了避免麻烦，故意将矩阵、向量的级数问题忽略，这个应该没什么大问题。如果存在矩阵和向量不能相乘的情况，我们可以通过增加零行、零列、零元素，使相乘两者级数一致，我想这不是什么难事。