全微分是连续的什么条件

问题描述

精选答案

全微分（total derivative）是微积分学的一个概念，指多元函数的全增量的线性主部。 一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是：此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微。

存在条件

全微分继承了部分一元函数实函数（定义域和值域为实数的函数）的微分所具有的性质，但两者间也存在差异。从全微分的定义出发，可以得出有关全微分存在条件的多个定理。

充分条件

一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是：此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微。

对于二元函数，此定理可表述为：若二元函数在点的某邻域内的偏导数与存在，且偏导函数与在点都连续，则此函数在点可微。需要注意的是，此条件并非充要条件，存在偏导函数不连续但是多元函数可全微分的情况。如果不满足这个充分条件，那么一个多元函数能否全微分则必须由定义加以证明，即验证是否成立。

必要条件

一个多元函数在某点的全微分存在的必要条件是：若多元函数在某点可微，则此函数在该点必连续。

对于二元函数，此定理可表述为：若二元函数在点可微，则此函数在点必连续。

全微分存在另一个必要条件是：若多元函数在某点可微，则此函数在该点的全微分可表示为各自变量的变化量与该自变量在该点的偏导数之积的和。

对于二元函数，此定理可表述为：二元函数在点可微，则此函数在点的全微分为