圆锥曲线一般方程满足什么条件

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精选答案

圆锥曲线是二次曲线，教材上的圆锥曲线方程，只是标准方程。

二次曲线的一般方程是：Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0

这个方程表示什么呢？——表示所有的二次曲线，包括圆、椭圆、双曲线、抛物线、点、双直线图形和无轨迹。这些图形可以是任意平移旋转过的。

如果给定方程Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0，要判断曲线类型，这时候直接看是不容易看出来的，就需要做一些处理。

（1）先考虑退化的曲线——双直线和点，当且仅当行列式Det3=

|A C/2 D/2|

|C/2 B E/2 | = 0 时,

|D/2 E/2 F |

二次曲线是退化的。这时，如果det2=AB-C^2/4=0则是椭圆退化成了一点；如果不等于0，就是直线。

如果是直线，先把A化成正的，

①平行或重合直线，由(ax+by+c)(ax+by+d)=0展开对比得，AB是同号的。

当D/E=√(A/B)或者是D√B=E√A，且C=2√(AB)时，两直线斜率一样，此时，若2F=D/√A或2F=E/√B，则重合，否则平行。如果要求直线，则a=√A，b=√B，c+d=D/√A=E/√B，cd=F

②相交直线，不符合①的双直线就是相交直线，如果A=-B，则分解因式验证其是否垂直。

（2）对于非退化的二次曲线，Det3≠0，这时看

Det2=

|A C/2|

|C/2 B |

即Det2=AB-C^2/4

Det2>0，椭圆，如果A=B则是圆；如果Det1=A+B>0（先把A化成正的）、且Det3>0，则是无轨迹的图形(不算退化)。

Det2<0，双曲线；

Det2=0，抛物线。

再说一下退化，对于标准形式，

椭圆左右各除以无穷大，就有x^2/a^2+y^2/b^2=0，就退化成了一点。

双曲线退化，x^2/a^2-y^2/b^2=0，退化为相交双直线，也就是她的渐近线。

抛物线退化，y^2=a，退化成了平行或重合的双直线。

三种曲线和他们的退化形式，经过旋转和平移，上文Det1、Det2、Det3的符号特征是不变的，所以可以这样判断，这三个值，称为二次曲线的不变量。

其他回答

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圆锥曲线的一般方程是Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0。其中A、B、C、D、E、F为常数，且A、B、C不全为0。圆锥曲线满足以下条件：当B^2 - 4AC > 0时，方程表示双曲线；当B^2 - 4AC = 0时，方程表示抛物线；当B^2 - 4AC < 0时，方程表示椭圆。

此外，圆锥曲线还可能是退化的，即当A、B、C不全为0，且B^2 - 4AC = 0时，方程表示两条平行直线；当A、B、C全为0，且D、E、F不全为0时，方程表示一条直线。