一元函数的梯度是什么

问题描述

精选答案

梯度其实就是（偏）导数组成的向量：

1， 一元函数的梯度就是导数，切线就是方向；

2， 二元函数的梯度就是两个偏导数组成的向量，我们称为梯度方向；

3， 以此类推。

我们课本中，引出梯度的概念，是在讲多元函数的章节，用二元函数举例说明。

比如二元函数

(z=f(x,y)

)可微，在点

(P_0

)处存在偏导数

(f'_x

)和

(f'_y

)，则称向量

((f'_x,f'_y)

)为函数

(z

)在点

(P_0

)处的梯度，记为

(

abla z

)。

梯度是一个向量，向量有方向，我们说的梯度方向，其实就是函数变化率最大的方向，这就是梯度的几何意义。

一元函数，导数表示的变化率，同时切线也是变化率最大的方向；二元函数，进化到梯度，由两个偏导数组成的向量的方向，成为了变化率最大的方向。继续想象三元函数，更多元函数，

(R^n

)空间。。。

二元函数全微分形式如下：

(dz=f'_x(x,y)dx+f'_y(x,y)dy

)

变换一下这个等式的形式：

(dz=f'_x(x,y)dx+f'_y(x,y)dy=

abla z

cdot (dx,dy)

)

微分就是近似计算：

(

Delta z=f'_x(x,y)dx+f'_y(x,y)dy=

abla z

cdot (

Delta x,

Delta y)

)

如果我们假设向量

((

Delta x,

Delta y)

)是单位向量，由两个向量内积的公式可得：

(

Delta z=

abla z

cdot (

Delta x,

Delta y)=

|

abla z

|

cdot

cos{a}

)

(a

)为两个向量的夹角，当夹角为0的时候，

(

Delta z

)最大，这就说明了梯度方向是函数变化率最大的方向。