n阶行列式定义及几种变形

问题描述

精选答案

行列式的表示方式：D = ∣ a i j ∣ D = |a_{ij}|D=∣a

ij

​

∣，其中有个性质就是∣ a 11 ∣ = a 11 |a_{11}| = a_{11}∣a

11

​

∣=a

11

​

注意和数学上的区别：比如就存在这种现象：∣ − 1 ∣ = − 1 |-1| = -1∣−1∣=−1和∣ − 1 ∣ = 1 |-1| = 1∣−1∣=1

∣ a 11 ∣ = a 11 |a_{11}| = a_{11}∣a

11

​

∣=a

11

​

这里指的是行列式

∣ a 11 ∣ = ± a 11 |a_{11}| =

pm

a_{11}∣a

11

​

∣=± a

11

​

这里指的是绝对值

2.3 举个例子

∣ 1 2 3 8 1 1 0 4 2 2 0 5 1 0 0 9 ∣

∣∣∣∣∣∣1121212030008459∣∣∣∣∣∣

|1238110422051009|

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

​

1

1

2

1

​

2

1

2

0

​

3

0

0

0

​

8

4

5

9

​

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

​

进行展开的时候，行标不变，主要是列标的改变，共有4 ! = 24 4!=244!=24项，不妨进行展开看一下

以标准排列为基准，计算出其逆序数，判断运算符号，然后在根据对换数判断其他元素下标的运算符号，也就省去了其他元素下标进行逆序数的计算

运算符号 元素下标 逆序数 对换数 展开项

+ 1234 0+ 1 ∗ 1 ∗ 0 ∗ 9 +1*1*0*9+1∗1∗0∗9

- 12431 − 1 ∗ 1 ∗ 5 ∗ 0 -1*1*5*0−1∗1∗5∗0

- 13241 − 1 ∗ 0 ∗ 2 ∗ 9 -1*0*2*9−1∗0∗2∗9

+ 13422 + 1 ∗ 0 ∗ 5 ∗ 0 +1*0*5*0+1∗0∗5∗0

… … … … …

真的要把24项全部展开真的太浪费时间了，通过上面的展开，可以发现有些展开项中存在着0这个元素，所以相乘的结果也是0，故该项就为0，这样的话就可以简化一些特殊的行列式，也是属于考试的重点

比如下面行列式：

∣ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 ∣

∣∣

其他回答

在职专升本

n阶行列式是一个方阵的一个特殊的数，可以看作是方阵中元素的一种排列方式。n阶行列式可以用公式表示为：det(A) = Σ(±a1j1a2j2...anjn)其中，A是一个n阶方阵，ajk是方阵A中第j行第k列的元素，Σ表示对所有符号的取和。n阶行列式的几种变形包括：

1. 行的倍乘：将矩阵的某一行的所有元素都乘以同一个非零实数。行的倍乘不改变行列式的值，只是改变了行列式展开式中的乘法因子。

2. 行的互换：将矩阵的两行交换位置。行的互换改变行列式的值的符号，即改变了行列式展开式中的正负号。

3. 行的加减：将矩阵的某一行的所有元素加上或减去另一行的对应元素的积。行的加减不改变行列式的值。这些变形可以用来简化计算行列式的值，或者用来证明某些行列式性质的推导过程。