年金现值公式怎么推导

年金现值的推导基于复利现值的概念，即未来某一金额的现值是这一金额按照一定的利率折现到现在的总和。对于普通年金而言，年金现值的计算公式可以表示为：

```

P = A × （P/A, i, n）

```

其中：

`P` 表示年金的现值；

`A` 表示每期支付的年金金额；

`i` 表示每期的利率；

`n` 表示支付期数；

`（P/A, i, n）` 表示年金现值系数，它是一个根据利率 `i` 和期数 `n` 确定的数值。

年金现值系数 `（P/A, i, n）` 的推导可以通过以下步骤进行：

1. 假设年金现值为 `P`，年金金额为 `A`，利率为 `i`，期数为 `n`。

2. 年金现值可以看作是年金金额 `A` 在每期末发生的复利现值之和。

3. 第一期末的年金现值为 `A / （1 + i）`。

4. 第二期末的年金现值为 `A / （1 + i）^2`。

5. 以此类推，第 `n` 期末的年金现值为 `A / （1 + i）^n`。

6. 将这些复利现值相加，得到年金现值 `P` 的总和：

```

P = A / （1 + i） + A / （1 + i）^2 + ... + A / （1 + i）^n

```

7. 将上述等式两边同乘以 `（1 + i）`，得到：

```

P × （1 + i） = A + A / （1 + i） + A / （1 + i）^2 + ... + A / （1 + i）^（n-1）

```

8. 将步骤6的等式从步骤7的等式中减去，得到：

```

P × （1 + i） - P = A - A / （1 + i）^n

```

9. 整理上述等式，得到年金现值 `P` 的公式：

```

P = A × （1 - 1 / （1 + i）^n） / i

```

这就是普通年金现值的计算公式。对于其他类型的年金（如预付年金、递延年金和永续年金），可以通过相应的调整来计算它们的现值。