怎么求函数的渐近线，高等数学

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精选答案

在高等数学中，我们通常会碰到三种类型的渐近线：垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

垂直渐近线：这种渐近线出现在当x趋近于某个特定值C时，y趋近于正无穷或负无穷的情况。一般来说，满足分母为0的x的值C，就是所求的渐进线。例如，当x趋近于2时，(x^2 -4)/(x-2) 的值趋近于正无穷，因此x=2就是垂直渐进线。水平渐近线：这种渐近线出现在当x趋近于正无穷或负无穷时，y趋近于某个特定的值c。考虑x无限变大或者变小后，y的变化情况。例如，函数 f(x)=sin(x)/x 在 x趋近于正无穷或负无穷时，y趋近于1，因此 y=1 就是该函数的水平渐近线。斜渐近线：这种渐近线的形式为y=kx+b，它反映了函数在无穷远点的性态。首先，我们需要求出 k，即 lim (f(x))/x，然后求 b，即 lim (f(x))-k*x。这些极限过程都是在x趋向于无穷大的情况下进行的。

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1)∵lim(x->-1-)f(x)=-∞lim(x->-1+)f(x)=+∞∴x=-1是函数f(x)的垂直渐近线2)∵x->-∞时，f(x)=x^2/(1+x)->-∞此时只有斜渐近线，设渐近线方程为y=kx+b,则k=lim(x->-∞)(f(x)/x)=lim(x->-∞)(x/(x+1))=lim(x->-∞)((1/(1+1/x))=1b=lim(x->-∞)(f(x)-kx)=lim(x->-∞)(x^2/(1+x)-x)=lim(x->-∞)(-x/(x+1))=lim(x->-∞)((-1/(1+1/x))=-1∴此时斜渐近线方程为y=x-13)∵x->+∞时，f(x)=x^2/(1+x)->+∞此时只有斜渐近线，设渐近线方程为y=k1x+b1,则k1=lim(x->+∞)(f(x)/x)=lim(x->+∞)(x/(x+1))=lim(x->+∞)((1/(1+1/x))=1b1=lim(x->+∞)(f(x)-kx)=lim(x->+∞)(x^2/(1+x)-x)=lim(x->+∞)(-x/(x+1))=lim(x->-∞)((-1/(1+1/x))=-1∴此时斜渐近线方程仍为y=x-1