如何判断一个分段函数的可导性

问题描述

精选答案

第一步：在要判断可导性的点的左右两端分别计算x趋向于这个点时函数的极限值，判定两个极限值是否存在且相等，若两个极限值不相等、其中有一个不存在或两个都不存在，则函数在该点处不连续，也就一定不可导；若两个极限值存在且相等，就进行下一步；

第二步：用导数的定义式，分别计算x从左和从右两个方向趋向于该点的极限值，若两个极限值都存在且相等，则判断为函数在该点处可导，且导数就等于该极限值；若两个极限值不相等、两个极限值中有一个不存在或两个极限值均不存在，则函数在该点处不可导。

其他回答

老牛聊法

判断一个分段函数的可导性，一般可以采用以下两种方法：

方法一：首先查看函数是否连续，连续则可能可导，不连续则一定不可导。然后分别在每一段的开区间里验证是否可导，最后再通过定义证明在每一段的临界处的左导数是否等于右导数。

方法二：使用导数极限定理。如果左右导数存在且相等，则可导，且导数就等于该极限值；若左右导数不相等或者存在不存在的情况，则不可导。

以上两种方法可以结合使用，先通过方法一排除一些不可能的情况，再通过方法二进行精确的判断。