什么是伴随现象

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精选答案

（这是关于《范畴论》一系列回答的第七篇，紧接在问题：”伴随什么意思，急急急急急急急呀？“ 之后，小石头将在本篇中和大家论述伴随的后续知识。

）先回答题主问题：在数学上，伴随 就是 两个 方向相反的 平行 映射之间的 某种关系。例如，伴随矩阵 A* 和 原矩阵 A，就可以看成 反向相反 的 线性变换，它们之间具有关系：AA* = A*A = |A|E我们在上一篇回答里，引入 的范畴论中的伴随 就只 对 这种现象的 高度抽象。在上一个回答中，我们通过 一个泛映射的实例，F: Set ⇄ Mon :U 引入了 伴随的定义，除了 实例中 i: F ⊣ U 这个 伴随现象 外，数学中 还有很多 伴随现象。例如，将 实例中 的 Mon 范畴替换为 Grp 范畴后 同样还是 伴随。下面再举一个实例：回忆前面在讨论多元函子时提到积范畴:A × B , Ob(A × B) = ObA × ObB, Mor(A × B）= MorA × MorB,它是 对 整个 范畴 进行笛卡尔积 的结果。与积范畴不同，现在考虑范畴 A内部，如果 A 的对象之间 和 态射之间 本就支持笛卡尔积，并且 都 对 笛卡尔积 封闭，即，对于 任意 A₁, A₂ ∈ObA定义 ，A₁ x A₂ = {(a₁, a₂) | a₁ ∈A₁,a₂ ∈ A₂}都有 A₁ x A₂ ∈ ObA；对于 任意f₁, f₂ ∈MorA, f₁: A₁ → A'₁ , f₂: A₂ → A'₂, 定义，f₁ x f₂:A₁ x A₂→ A'₁ x A'₂, f₁ x f₂ = (f₁π₁, f₂π₂)（其中 π₁(a₁, a₂) = a₁,π₁(a₁, a₂) = a₂ 称为下标函数）都有f₁ x f₂ ∈ MorA；则，我们就可以 将 A 中的 笛卡尔积运算 x 升级为 从 积范畴 A × A到 范畴 A的 函子：x: A × A→ A称 x 为 乘积函子。注意：请一定要区分 积范畴 和 乘积函子的像，前者的 对象 和 态射 分别是 (A, B) 和 (f, g)， 后者 对象的像 和 态射的像 分别是 A₁ x A₂ 和(f₁π₁, f₂π₂) 。在 积范畴 A × B 中 态射运算 为 (f, g)(a, b) = (f(a), g(b)) 这说明 (f, g) 仅仅是两个平行函数；而 在 支持笛卡尔积的范畴 A 中，令(g₁, g₂) = f₁ x f₂，则 (g₁, g₂)(a₁, a₂) =(g₁(a₁, a₂), g₂(a₁, a₂) )，这说明(g₁, g₂) 是二元向量函数 。（这是一个坑，容易掉进去。）反过来，我们还可以另外一个 从范畴 A到积范畴 A × A的函子：△: A → A × A, △(A) = (A, A), △(f) = (f, f)称 △ 为 三角函子。然后，我们再定义 自然变换：η: 1ᴀ → x ∘ △, η(A) = (1ᴀ, 1ᴀ)因为，对于 A 中任意 对象 A 和 A × A中的 任意对象 (A₁, A₂) 以及 任意态射，f : A → A₁ x A₂, f(a) = (f₁(a), f₂(a))都有 A × A 中唯一态射，f' : △(A) = (A, A) → A₁ x A₂, f'(a₁, a₂)= (f₁(a₁), f₂(a₂))使得：x(f')η(A)(a) = (f₁ x f₂)(1ᴀ, 1ᴀ)(a) =(f₁π₁, f₂π₂)(1ᴀ(a), 1ᴀ(a)) = (f₁π₁, f₂π₂)(a, a) = (f₁π₁(a, a), f₂π₂(a, a)) =(f₁(a), f₂(a))= f(a)这样以来，我们就得到了一个伴随：η: △ ⊣ x余泛映射回忆泛形式的定义，我们 将 ☆2 和 ☆1 中组成星枝的霍姆集全部反向，其它保持不变，结构图变为：如果对于每一个边缘节点X 都有一个双射：ψx: Hom(X, B) ≅ Hom(F(X), A)并且，保证 ψ 是自然的，即，对于任意态射 f': X → B，ψ 使得下图可交换：这样的结构，我们称为，余泛形式。类似于泛形式，在余泛映射中， 必然：存在 A 中 态射 v: F(B) → A，对于 A 中任意以 A 终端的 态射 f: F(X)→ A，都有 B 中 唯一的态射 f': X → B 满足：vF(f') = f交换图为：我们称 v 为 A 到 F 的 余泛映射。可以证明 余泛形式和余泛映射的等价性，并且有如下关系：v = ψʙ(1ʙ) , ψx(f") =vF(f")这个证明过程，与前面的 泛形式和泛映射的等价性证明 类似，这里留给大家思考。伴随的完整定义用 余泛映射，可以给出 伴随的 定义3：给定 一对反向平行的 函子 F: A ⇄ B: U，如果 自然变换：ε: FU → 1ʙ使得对于每个 B ∈ ObB，ε(B): FU(B) → B，都是 B 到 F 的余泛映射，则称 F 和 U 伴随，记为 F ⊣ U: ε。再回忆，前面的两种定义，定义1：给定 一对反向平行的 函子 F: A ⇄ B: U，如果 自然变换：η: 1ᴀ → UF使得对于每个 A ∈ ObA，η(A): A → UF(A)，都是 A 到 U 的泛映射，则称 F 和 U 伴随，记为 η: F ⊣ U。定义2：给定 一对反向平行的 函子 F: A ⇄ B: U，如果 对于任意 A ∈ ObA，B ∈ ObB都 存在 双射：φᴀ,ʙ: Hom(F(A), B) ≅ Hom(A, U(B)) :ψᴀ,ʙ并且 φ（ψ）是自然的，则称 F 和 U 伴随，记为 F ⊣ U。三种定义的 交换图如下：我们前面已经证明了 泛形式和泛映射的等价性，这就说明 定义1 和 定义2 等价，并且根据 泛形式和泛映射 的关系 有：η(A) =φᴀ,ʙ(1ғ₍ᴀ₎)φᴀ,ʙ(g) =U(g)η(A)又由 余泛形式和余泛映射的等价性，知 定义3 和 定义2 等价，并且 根据 泛形式和泛映射 的关系有：ε(B) = ψᴀ,ʙ(1ᴜ₍ʙ₎)ψᴀ,ʙ(f) = ε(B)F(f)综上，三种定义 等价。我们一般称 η 为单位，ε 为余单位。前例 F: Set ⇄ Mon: U 中，各部分的定义为：F(f)(x₁x₂...xn) = f(x₁)f(x₂)...f(xn), U(g) = g,η(A)(x) = x,φᴀ,ʙ(g)(x) = g(x),ψᴀ,ʙ(f)(x₁x₂...xn) = f(x₁)f(x₂)...f(xn),ε(B)(x₁x₂...xn) = x₁x₂...xn,可以验证上面的关系：φᴀ,ʙ(1ғ₍ᴀ₎)(x) = 1ғ₍ᴀ₎(x) = F(1ᴀ)(x) = 1ᴀ(x) = x = η(A)(x)U(g)η(A)(x) = g(x) = φᴀ,ʙ(g)(x)ψᴀ,ʙ(1ᴜ₍ʙ₎)(x₁x₂...xn) = ψᴀ,ʙ(U(1ʙ))(x₁x₂...xn) = ψᴀ,ʙ(1ʙ)(x₁x₂...xn) = 1ʙ(x₁)1ʙ(x₂)...1ʙ(an) =x₁x₂...xn = ε(B)(x₁x₂...xn)ε(B)F(f)(x₁x₂...xn) = ε(B)(f(x₁)f(x₂)...f(xn)) = f(x₁)f(x₂)...f(xn) = ψᴀ,ʙ(f)(x₁x₂...xn)前例 △: A⇄A × A :× 的交换图如下，其中，各部分的定义为：△(g) = (g, g), f₁ × f₂ = (f₁π₁,f₂π₂),η(A) = (1ᴀ, 1ᴀ)φᴀ,ʙ(g₁, g₂) = (g₁, g₂)ψᴀ,ʙ(f₁, f₂) = (f₁, f₂)ε(A₁, A₂) =(1ᴀ₁π₁, 1ᴀ₂π₂)可以验证上面的关系：φᴀ,ʙ(1△₍ᴀ₎)= φᴀ,ʙ(△(1ᴀ)) = φᴀ,ʙ(1ᴀ, 1ᴀ)= (1ᴀ, 1ᴀ) = η(A)(g₁ × g₂)η(A) = (g₁π₁,g₂π₂)(1ᴀ, 1ᴀ)=(g₁π₁(1ᴀ, 1ᴀ),g₂π₂(1ᴀ, 1ᴀ)) = (g₁1ᴀ, g₂1ᴀ) = (g₁, g₂) = φᴀ,ʙ(g₁, g₂)ψᴀ,ʙ(1ᴀ₁᙮ᴀ₂) = ψᴀ,ʙ(1ᴀ₁ × 1ᴀ₂) = ψᴀ,ʙ(1ᴀ₁π₁, 1ᴀ₂π₂) = (1ᴀ₁π₁, 1ᴀ₂π₂) = ε(A₁, A₂)ε(A₁, A₂)△(f₁, f₂) =(1ᴀ₁π₁, 1ᴀ₂π₂)((f₁, f₂),(f₁, f₂)) =(1ᴀ₁π₁(f₁, f₂), 1ᴀ₂π₂(f₁, f₂)) = (1ᴀ₁f₁, 1ᴀ₂f₂) = (f₁, f₂) = ψᴀ,ʙ(f₁, f₂)Galois联络如果 一个范畴中的任意霍姆集最多含有 一个态射，则称 该范畴 为 前序集范畴，记为 Preoset，并令：X ≤ Y iff X → Y我们前面介绍 的偏序集范畴Poset，就是一种 Preoset。设 A 和 B 是两个 前序集范畴， 给定 伴随函子 F: A ⇄ B: U，F ⊣ U ，则 对于 任意 A ∈ ObA，B ∈ ObB 有，自然双射：Hom(F(A), B) ≅ Hom(A, U(B))这说明：F(A) ≤ B iff A ≤ U(B)根据 单位定义 η: 1ᴀ → UF ，有 1ᴀ(A) = A → UF(A)，即A ≤ UF(A)，这说明 A 是 所有满足A ≤ U(Y)， Y ∈ ObB的 U(Y) 中最小的那个；类似地 根据 余单位定义 ε: FU → 1ʙ，有 FU(B) → 1ʙ(B) = B， 即， FU(B) ≤ B，这说明 B 是 所有满足F(X) ≤ B，X ∈ ObA 的 F(X) 中最大的那个。我们称 前序集范畴 之间的 伴随函子 为 Galois联络。逻辑量词数学中我们经常使用一阶逻辑语言来辅助数学公式，一阶逻辑语言由：逻辑值：⊤ 真， ⊥ 假；一元逻辑运算：¬ 非；二元逻辑运算： ∧ 与，∨ 或，⇒ 蕴涵，⇔ 等价；逻辑量词：∀ 任意，∃ 存在；这 十个逻辑符号，以及 数值，常量 和 变量 构成。笛卡尔最先 使用 拉丁文 的 前面 字母 a, b, c, ... 表示 常量，后面 字母 ..., x, y, z 表示变量，这个习惯沿用至今。如果一个数学公式中的 变量没有在 公式前 被 逻辑量词约束，则称 该变量 为 自由变量，否则 称为 约束变量。例如：u(x): ∃y.x + y = a公式 u(x) 中，x 为自由变量，y 为约束变量。我们还知道公式之间可以推导，例如：v(x): ∃y.x = a - y则 由 u(x) 可以推出 v(x)，记为 u(x) ⊢ v(x)。注意： 由于 → 和 ⇒ 分别被用于 表示态射 和 表示蕴涵，因此 在 《递归论》 中 用 ⊢ 表示 推出。设 ẍ = x₁, x₂, ..., xn 是 一组 自由变量，Form(ẍ) 是所有 以 ẍ 为自由变量的 公式的全体，则 以 Form(ẍ) 的 公式为 对象，以 公式之间的推导 ⊢ 为 态射，以推导 的 传递性 建立 复合运算，构成一个 前序集范畴，我们任然记为 Form(ẍ)。为什么构成 前序集 呢？因为：对于 Form(ẍ) 中任意 u(ẍ) 到 v(ẍ)，要么 u(ẍ) ⊢ v(ẍ) ，则 Hom(u(ẍ),v(ẍ)) 中存在一个态射 u(ẍ) → v(ẍ)，要么 u(ẍ) ⊬ v(ẍ) 则 Hom(u(ẍ),v(ẍ)) 中不存在态射 。又设 y 是 不同于 ẍ 的另外一个 自由变量，Form(ẍ, y) 是所有 以ẍ 和 y 为自由变量的 公式的全体，则 Form(ẍ, y) 是另外 一个前序集范畴，而且有 Form(ẍ)⊂ Form(ẍ, y)，因为：对于 任意 u(ẍ) ∈ Form(ẍ) ，有 u(ẍ) = u(ẍ, y) ∈Form(ẍ, y)，例如，u(x): x = a，u(x, y): x = a，则 u(x) = u(x, y)，由于新增 y 在 公式 x = a 中不出现，所有 公式 x = a 本质并没有发生改变。于是，可以定义 含入映射：∗: Form(ẍ) → Form(ẍ, y), ∗u(ẍ) = u(ẍ)而又有：∗u(ẍ) ⊢ ∗v(ẍ) = u(ẍ) ⊢ v(ẍ) = ∗(u(ẍ) ⊢ v(ẍ))故，∗ 是函子。受此启发，我们发现 全称量词 ∀ 其实也是一个函子：∀:Form(ẍ, y) → Form(ẍ) , ∀u(ẍ, y) = u(ẍ): ∀y.u(ẍ, y)例如，u(x, y): x + y = a, ∀u(x, y) = u(x): ∀y.x + y = a由逻辑关系可以证明：∗u(ẍ) ⊢ v(ẍ, y) iff u(ẍ) ⊢ ∀y.u(ẍ, y)例如，设 u(x): x = a, v(x, y): x + y = a + y 则∗u(x) ⊢ v(x, y) iff x = a ⊢ x + y = a + y iffx = a ⊢ ∀y.x + y = a + y iffu(x) ⊢ ∀y.v(x, y)因此，我们得到一个伴随：∗ ⊣ ∀类似，存在量词 ∃ 同样是一个函子：∃:Form(ẍ, y) → Form(ẍ) , ∀u(ẍ, y) = u(ẍ): ∃y.u(ẍ, y)可以由逻辑关系证明：∃y.v(ẍ, y) ⊢ u(ẍ) iff v(ẍ, y) ⊢ ∗u(ẍ)例如， 设 u(x): x = a, v(x, y): x + y = a + y 则∃y.v(ẍ, y) ⊢ u(ẍ) iff ∃y.x + y = a + y ⊢ x = a iff x + y = a + y⊢ x = a iff v(x, y) ⊢ ∗u(x)因此，我们得到另一个伴随：∃ ⊣ ∗最终，得到：∃ ⊣ ∗ ⊣ ∀好了，已经三千多字了，限于篇幅，这篇回答就写到这里。小石头用了两篇回也仅仅是将 伴随 刚刚介绍给大家，伴随还有许多知识，我们留在 介绍完 极限后 讨论。如果伴随是范畴之间的 辉煌，那么 极限就是范畴内部的精致，我们会在下一次回答中详细讨论极限——这个 从《高等数学》就开始 接触的概念。（最后，小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正，非常感谢！）