极化恒等式成立条件

问题描述

精选答案

极化恒等式是数学中一条重要的公式，它表示内积可以通过极化来表示出来，即两向量的内积等于它们之和的平方减去它们差的平方。

极化恒等式的成立条件是两个向量需满足实向量空间的定义和内积空间的性质，即必须满足对称性、双线性及正定性三个条件。对称性即内积的结果与向量的顺序无关，双线性为内积对每个向量的线性性质，正定性是内积结果只有在向量都为零时才为零。若两个向量满足这些条件，极化恒等式就可以得出正确的结果。

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极化恒等式是联系内积与范数的一个重要等式，是用范数表示内积的公式。它成立的条件主要有以下几点：

1. 对称性：对于任意的向量v和w，极化恒等式都成立。

2. 线性性：极化恒等式中的向量v和w可以是任意的线性组合，对应的恒等式仍然成立。

3. 正定性：当且仅当向量空间是一个欧几里得空间时，极化恒等式才成立。

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极化恒等式(polarization identity)是联系内积与范数的一个重要的等式，是用范数表示内积的公式。设H是内积空间，‖·‖是由内积(·，·)导出的范数，下列等式常被称为极化恒等式：当H是实空间时，(x，y)=(1/4)(‖x+y‖2-‖x-y‖2)；当H是复空间时，(x，y)=(1/4)(‖x+y‖2-‖x-y‖2+i‖x+iy‖2-i‖x-iy‖2)。对于实内积空间上的双线性埃尔米特泛函以及复内积空间上的双线性泛函φ(x，y)也分别有类似于上述的恒等式