伽辽金法与里茨法的区别

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精选答案

伽辽金法可广泛用于各种数学物理工程问题，特别是流体力学中的有限元方法，主要采用的就是伽辽金法或其改进方法。

相对于里茨法，两者虽然在某个特定的条件是等效的，但是伽辽金法是直接针对原始微分方程推导出来的，也适用于不能给出泛函（需对其求极小值）的那些问题，伽辽金法比里茨法更有优势。但是应当注意的是，伽辽金法虽然具有精度高、适用性较广的优点，但是对它的数学原理研究还不是很清楚，收敛性的许多问题仍有待解决。虽然有限元方法在流体力学中应用时主要采用的就是伽辽金法，但是对于某些流体力学问题，如对流扩散问题（由于对流扩散方程存在非线性的对流项）会经常因为有限元网格不恰当而造成有限元数值解的失真或振荡。对于这个缺陷，可以通过加密网格解决，但是这样会导致计算量大大增加，并不实用；此外Heinrich和Zienkiewicz等人于1977年提出采用迎风格式优化伽辽金法，从而在不增加计算量的基础上解决了这个问题。另外伽辽金法及其一系列改进方法，如混合伽辽金法，最小二乘/伽辽金法等，都会产生非正定对称刚度矩阵，从而导致其方程组求解的计算量较大，所以至今未能大范围用于计算流体力学中。