函数极限的局部有界性为什么需要M大于0

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精选答案

对于极限要明确一点，他是在某一点的名义在说一小段区间的故事。

对于局部有限性来说也是这样，先看定义：首先他告诉你，函数有极限，那么就一定有配套的ξ（可以看作是函数的子函数的定义域的一个条件，就是利用它可以推导出这个子函数的定义域），当x满足这一条件的时候，那么函数有界，他的一个界为M（当然也可以取任意一个大于M的数作为一个新M，使得当x满足定义条件的时候，这个新M大于子函数的绝对值）。你就会发现它的局部有限性，无外乎就是想表达这个意思：在x0的某一段邻域或者去心邻域内，如果他的极限存在（极限存在可以看作函数在向某一个值进行靠拢），那么函数在这一点附近的变化幅度不会太大，他一定是有界的。如果要是放在整体来看，那就很明显就没有下界就不能叫做有界了。（这个是根据有界性定义推断的）扩展资料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。在极限理论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值与最小值定理、介值定理、零点定理和一直连续性定理。其中，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，有多种方法可以证明此定理。比如可以利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准等。我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理。函数的局部有界性是指函数在极限点的邻域内有界,而在整个定义域上并不一定有界. 数列其实可以看作是一个离散的函数.但数列求极限是总是令n趋向于无穷大.而函数求极限则不然,因此数列的有界性是对于整个数列而言的.更直白的说,数列如果存在极限,那么它前面的有限项必然都是有限的数,所以肯定有界,而后面的无限多项由于极限的存在性所以也一定有界的.但是函数不具有这样的特性.

其他回答

会计伯伯

对于函数极限的局部有界性，存在这样的一个定理：若函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有界，则$f(x)$在$x_0$处有极限。

其中，对于去心邻域$(x_0-

delta, x_0)

cup(x_0, x_0+

delta)$内的任意$x$，都有$|f(x)|

leq M$。

这里的$M$指的是一个有限的正实数，即$M>0$。

为什么需要$M>0$呢？因为当取$M=0$时，就会出现$|f(x)|=0$的情况，这时$f(x)$虽然满足局部有界性，但它在$x_0$处不一定有极限，因为这时函数可能并不连续或者根本不存在极限。因此，$M$必须大于零，才能保证定理的有效性。