黎曼度量是什么

问题描述

精选答案

既然是问“关系”的话，那我再补充一点：紧黎曼曲面拓扑上即是可定向的闭曲面，众所周知可定向闭曲面是按亏格分类的，即球面，环面，2个洞的环面，etc.其中（2维）球面上有独特的复结构，即CP^1.然后这个复结构对应到一个曲率恒正（标准化之后可使曲率恒为1）的黎曼度量，其实就是球面放在三维空间里面的标准度量。

这种情形叫做椭圆型的黎曼曲面，只有球面一种。环面的话，它上面可以取平坦的黎曼度量（即曲率恒为0），这种情形叫做抛物型黎曼曲面。注意到，环面上可以取不同的复结构，但对应的黎曼度量都是平坦的。亏格为2以上的曲面，它上面可以取曲率恒为－1的黎曼度量，这种情形叫做双曲型黎曼曲面。那么这些曲面上为什么可以取到相应的黎曼度量？这些度量跟黎曼曲面的复结构又有什么关系？先出个思考题，我再解释：球面上能不能取到曲率恒负的度量？环面上能不能取到曲率恒正或者恒负的度量？亏格为2的曲面能不能取到曲率恒正的度量？有哪个大定理直接给出了这些问题的答案？OK,接下来开始解释度量和复结构之间的关系。球面已经说过了，它上面典则的复结构就是CP^1, 典则的度量就是球面的标准度量。环面的话，它可以看成复平面模掉一个格点（lattice）后得到的商曲面。你取的lattice不同，得到的环面上的复结构也不同。但是复平面上我们取的是欧氏度量（就是什么东西都没有的最平凡的那种度量），你得到的商曲面上的度量是继承了复平面上的度量，因此是平坦的。亏格为2以上的曲面，它可以看成复平面中的单位圆盘（取Poincare度量）的商曲面。但是这个商曲面具体怎么构造，不是环面那么简单。首先亏格为2以上的曲面有多边形表示，然后你要把这个多边形铺满整个单位圆盘（多边形的边界取成Poincare度量下的测地线）。铺满以后，你就自然地得到做商的方式了。然后，因为单位圆盘在Poincare度量下是标准的双曲空间（即曲率恒为－1），所以商曲面也自然地继承了这个双曲度量。环面和亏格为2的曲面，它们的万有覆盖都是欧氏平面（复平面和单位圆盘是同胚的）。但是因为取的度量不同（一个是平坦度量，一个是双曲度量），所以得到的商曲面也不一样。至于复平面上的平坦度量、单位圆盘上的Poincare度量和“复结构”有什么关系，这个学了复变函数应该就明白了～

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警校考研叨咕叨

黎曼度量（Riemannian metric）或伪黎曼度量（pseudo-Riemannian metric）是黎曼几何或伪黎曼几何所要求的基本结构．赋予黎曼度量/伪黎曼度量的微分流形被称为黎曼流形/伪黎曼流形，它们既是几何学研究的对象，也是广义相对论得以展开的舞台．

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金融女王

黎曼度量是物体可以从体积分成许多面积，从面积分成许多线段，从线段分成许多的点；反过来说，点可以构成线段，线段就像织布一样经纬交织而成面积，面积就像书本里的纸一样一张张叠加而成体积。从这个意义上说，若将真实的世界局限在有限的维度上，那就不能了解真实的世界，只有有限的认识才有有限的世界，反之，多维的的认识里有更广阔的世界。

或 之于人事，有限的观念就有限的人生，反之，无限的观念里有无限的人生。