狄利克雷函数为什么不可积

问题描述

精选答案

比如说，我们研究该函数在区间上的可积性。

回顾定积分（注意，这是黎曼积分）定义因为是在分割后的诸区间上任取的，若总取为其中的有理数，这样和式为若总取其中的无理数，这样和式为于是显见该极限不存在，故函数不可积。事实上，只需注意到函数在任意区间上振幅都为即可断言函数在任意区间上都不可积。

其他回答

教师电脑通

在黎曼积分的定义下不可积，因为对自变量区间任意划分内函数值总是可以取到0或者1这样累加起来的微小矩形的面积无法收敛到固定值。但是这个函数在勒贝格积分的意义下是可积的。