导数连续怎么证明

问题描述

精选答案

连续：左右极限存在且相等且等于在该点的函数值。

可导：函数在该点连续，左导数等于右导数。用反证法。设lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于epsilon = (L-f'(a))/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，| f'(x) - L | < epsilon, 推出 f'(x) > L - epsilon = L'。如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。扩展资料：关于函数的可导导数和连续的关系：

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。