复变函数中的转动角和收缩率是什么意思

问题描述

精选答案

设复平面上一曲线C由参数方程z=z(t)给出，现在考虑曲线C在函数f(z)下的像，它也是一条曲线，记为C'，其方程为z'=f[z(t)]。

对于同一参数t0，对应于分别位于C和C'上的点z0和z0'，两条曲线分别在这两点处的切线一般是不同的，它们之间的夹角称为C在f(z)映射下在z0处的转动角。再考虑在C上取一邻近z0的另一点z1，设曲线C上z0到z1之间的一段弧的长度为Δs，相应地曲线C'上f(z0)和f(z1)之间的弧长为Δs'，则极限limΔs'/Δs称为曲线C在f(z)映射下z0处的伸缩率。可以证明，如果f(z)在z0处解析，且f'(z0)≠0，则该点处的转动角等于Argf'(z0)，伸缩率等于|f'(z0)|。注意转动角和伸缩率都与曲线C的形状无关，称为保角性和伸缩率不变性，同时把具有这两种不变性的映射称为共形映射。