互为反函数导数有什么特征

问题描述

精选答案

互为反函数的两个函数的导数没有关系。

1）定义：y=f(x) ，其反函数是由前式直接求出的x=g(y), 有dy/dx=1/(dx/dy),即f(x)对x求导数=（g(y)对y的导数）的倒数。

2）例子： y=2x，反函数是x=y/2.由y=2x得dy/dx=2, 由x=y/2得 dx/dy=1/2; 显然二者互为倒数。已知函数y=f(x)，从表达式y=f(x)出发，经过代数恒等变形，将变量x表示为y的表达式，若这个对应规则表示变量x为y的函数，则称为函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)。这样得到的两个函数叫做互反函数。由于习惯用变量记号x表示自变量，用变量记号y表示函数，因此在反函数x=f-1(y)的表达式中，再将变量记号x改写为y，变量记号y改写为x，得到函数表达式y=f-1(x)，于是也称函数y=f-1(x)为函数y=f(x)的反函数。利用互反函数的这一对称性质来看幂函数，将见：(1) 每一个幂函数的反函数仍是一个幂函数，因此，幂函数组成一个自反的函数族。这就是说，的反函数是(且后式也可写作)，而它们都是幂函数。

（2）指数是真分数的幂函数，它的反函数(也是幂函的指数就大于1(是原来那个真分数的倒数)。由于指数大于1的幂函数的描点制图较易进行，可以先将反函数图形作出，再利用原函数和反函数对直线的对称，原函数作出。互为反函数的两个函数的导函数没有互为反函数的关系。但连续光滑可导的互为反函数的两个函数的导数的乘积是1。证明：设y=f(x)①,其反函数为y=f^-1(x)②分别求导得：

①式有y'=f'(x)x'；②式有y'=1/f'(x)x'两式相乘,为1。没有关系的。 不过 ((f^-1)(x))'=1/(f(y))'。 注意右边自变量是y