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环的理想与环相等只要证明单位元在理想里吗
问题更新日期：2024-04-23 02:32:00
问题描述
环的理想与环相等只要证明单位元在理想里吗，在线求解答
- 精选答案
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如果前提是有1的交换环, 那么结论是成立的(讨论环的理想时, 常有此前提). 在此前提下, 只要证明环中的非零元均可逆, 就能证明这个环是域. 事实上, 若环中存在不可逆的非零元, 考虑由它生成的理想. 该理想包含非零元, 故不是零理想. 因为生成元不可逆, 该理想不包含1, 故不是单位理想. 于是环中至少有三个理想, 矛盾. 即得该环中非零元均可逆, 这个环是域.
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