左右导数存在且相等，能证明这点导数存在吗

问题描述

精选答案

在数学分析中，左导数和右导数是对函数在某点处的导数性质进行更精确刻画的概念。

如果一个函数在某一点的左导数和右导数存在且相等，则可以推断该点的导数也存在。具体证明如下：假设函数f(x)在点x=a处的左导数等于右导数，且左导数、右导数都存在，表示为$f'_-(a) = f'_+(a) = f'(a)$。左导数定义为：[ f'_-(a) = lim_{ho 0^-} frac{f(a+h) - f(a)}{h} ]右导数定义为：[ f'_+(a) = lim_{ho 0^+} frac{f(a+h) - f(a)}{h} ]因为左导数和右导数相等，即$f'_-(a) = f'_+(a)$。考虑到导数的定义为：[ f'(a) = lim_{xo a} frac{f(x) - f(a)}{x - a} ]当左导数和右导数都存在且相等时，可以得出：[ lim_{ho 0^-} frac{f(a+h) - f(a)}{h} = lim_{ho 0^+} frac{f(a+h) - f(a)}{h} ]换句话说，当左导数和右导数存在且相等时，该点的导数也存在。因此，左导数存在且等于右导数这一条件足以证明该点的导数存在。