各位教师级人物：我在完全自考，其中国民经济统计里有这么一个公式：

利用样本对总体方差进行估计，S² = (方差和)/n 为有偏估计，S² = (方差和)/(n-1) 为无偏估计；书上对此有清楚的证明和推导，不想多说了。

只想说一下对利用样本均值代替总体数学期望值计算出的样本方差，除以(n-1)的理解。

如果给出了总体的数学期望u，我们用N个数据估算样本方差，除以N，没问题，因为u是 准确的，与实验数据无关，实验数据与u之间的偏差真实地反映了数据的离散程度。

现在，不给总体数学期望u。我们用N个样本的均值X*代替它。因为X*本身也是一个统计量，虽然是u的无偏估，但它毕竟只是个估计，它来源于数据本身，不是独立的，用X* 代替u计算出的样本方差，比实际方差要小。极端情况，如果只有一组数据，我们要不要承认该数据就代表总体数学期望，从而认为方差为0 ？这显然不是除以n能够解释的，如果除以n-1，则成为0/0的不确定值，也就是说这时估计出的总体方差与真实值得偏差可能是任意值，取决于这一组数据本身的偏差。

为什么要除以n-1？我们假设一个容量为n的样本{X1,X2,....Xi,...Xn}，样本均值计作X*。

假设总体数学期望为u，总体方差为σ²，下面我们做一下比较。

(1) 用u做方差和，S² = (X1-u)²+(X2-u)²+......+ (Xn-u)²

E(S²) = nσ²

2) 用X* 代替u计算 (S*)² = (X1-X*)² +(X2-X*)²+......+ (Xn-X*)²

= [(X1-u)-(X*-u)]² + [(X2-u)-(X*-u)]² +......+[(Xn-u)-(X*-u)]²

= [(X1-u)²+(X2-u)²+......+ (Xn-u)²]

- 2*[(X1-u)+(X2-u)+......+ (Xn-u)]*(X*-u) + n*(X*-u)²

= [(X1-u)²+(X2-u)²+......+ (Xn-u)²] -2n*(X*-u)² + n*(X*-u)²

= [(X1-u)²+(X2-u)²+......+ (Xn-u)²] - n*(X*-u)²

E[(S*)²] = nσ² - n*(σ² /n) = (n-1)σ²

也就是说n个数据用X*计算出的方差和是(n-1)σ²，之所以不是n倍的总体方差，是因为平均值来自样本数据，本身也是一个统计量，也有自己的方差，用它代替总体数学期望，降低了数使方差和少了一块，即均值本身产生的方差。

因此当用样本均值代替总体数学期望，进行方差估计的时候要除以(n-1)。

以上是个人看法，详细的推导可以参考数理统计的课本，希望能对你有所帮助