巧解圆锥曲线中的定点和定值问题

圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用．

求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量 ， 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 ， 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．

【例1】已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，椭圆 过点 ，直线

交 轴于 ，且 ， 为坐标原点．

（1）求椭圆 的方程；

（2）设 是椭圆 上的顶点，过点 分别作出直 ， 线交椭圆于 ， 两点，设这两条直线的斜率

分别为 ， ，且 ，证明：直线 过定点．

【解析】

（1） ，

， ，

， ，即

（2）设 方程为 代入椭圆方程

， ，

，

，

代入 得：

所以， 直线必过 ．

【总结】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

【例2】已知抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，且 ，其中 为坐标原点.

（1）求抛物线 的方程；

（2）已知点 的坐标为 ，记直线 、 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值.

【解析】

（1）解：设 ， ，

联立方程组 ，

消元得 ，

所以 ， .

又 ，

所以 ，从而 .

(2)因为 ，

所以 ，

因此

又 ， ，

所以 .

即 为定值.