收敛的幂级数有哪些

幂级数是一种特殊的无穷级数，其形式为：

$$a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + ldots$$

其中，$a_i$ 是系数，$x$ 是变量。幂级数在其收敛半径内是收敛的，收敛半径通常由比值测试或根值测试确定。

几何级数

当公比 $r$ 的绝对值小于 1 时，几何级数收敛，其和为：

$$S = frac{a}{1 - r}$$

其中 $a$ 是首项。

Taylor 级数

在某个点 $a$ 的泰勒级数是将一个函数展开成幂级数形式，其收敛域至少包含展开点 $a$。

Maclaurin 级数

是 Taylor 级数在 $x = 0$ 处的特例，用于展开函数。

等比级数

当公比 $r$ 的绝对值小于 1 时，等比级数收敛，其和为：

$$S = frac{a}{1 - r}$$

其中 $a$ 是首项。

p级数

当 $p > 1$ 时，p级数收敛；当 $p leq 1$ 时，p级数发散。

反比例级数

当 $|x| < 1$ 时，反比例级数收敛，其和为：

$$S = frac{a}{1 + x}$$

其中 $a$ 是首项。

幂级数的收敛性可以通过比值测试或根值测试来确定。需要注意的是，幂级数在收敛半径之外是发散的，但在收敛半径内是收敛的。