等价的无穷小有哪些

等价无穷小是在一定条件下，两个无穷小量之比的极限为1的关系。以下是一些常见的等价无穷小：

一阶等价无穷小

$sin x sim x$

$tan x sim x$

$arcsin x sim x$

$arctan x sim x$

$ln（1+x） sim x$

$e^x - 1 sim x$

$a^x - 1 sim x ln a quad （a > 0, a neq 1）$

二阶等价无穷小

$1 - cos x sim frac{1}{2} x^2$

$x - ln（1+x） sim frac{1}{2} x^2$

三阶等价无穷小

$x - sin x sim frac{1}{6} x^3$

$arcsin x - x sim frac{1}{6} x^3$

$tan x - x sim frac{1}{3} x^3$

$x - arctan x sim frac{1}{3} x^3$

高阶等价无穷小

$sin x = x - frac{1}{6} x^3 + o（x^3）$

$cos x = 1 - frac{1}{2} x^2 + frac{1}{24} x^4 + o（x^4）$

$tan x = x + frac{1}{3} x^3 + o（x^3）$

$arcsin x = x + frac{1}{6} x^3 + o（x^3）$

建议

在使用等价无穷小时，需要注意它们的适用范围，即这些等价关系仅在自变量趋于0时成立。

在进行极限计算时，先尝试使用等价无穷小替换，可以简化计算过程。

等价无穷小的替换需要遵循数学规则，避免误用导致错误。