怎么求无偏估计量例题

无偏估计量的计算基于期望值的性质，即如果一个估计量的期望值等于被估计的参数，则该估计量是无偏的。下面通过一个具体的例题来说明如何求一个无偏估计量。

例题：

假设我们有一个来自正态分布的随机变量 （Xsim N（mu, sigma^2）），我们想要估计它的均值 （mu）。

样本数据

假设我们观测到的样本数据为 （{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5}）。

计算样本均值

样本均值 （bar{x}） 的计算公式为：

[

bar{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i

]

其中，（n） 是样本的大小。

验证无偏性

要验证 （bar{x}） 是否是 （mu） 的无偏估计量，我们需要计算 （bar{x}） 的期望值，并检查它是否等于 （mu）。

根据期望的线性性质，我们有：

[

E（bar{x}） = Eleft（frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_iright） = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} E（x_i）

]

由于 （{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5}） 是来自同一分布的独立样本，因此：

[

E（bar{x}） = frac{1}{n} times n times mu = mu

]

由于 （E（bar{x}） = mu），我们可以得出结论，样本均值 （bar{x}） 是总体均值 （mu） 的无偏估计量。

总结：

通过计算样本均值 （bar{x}），我们验证了它是总体均值 （mu） 的无偏估计量。

无偏估计量的期望值等于被估计的参数值。