怎么对两重积分求导

对于二重积分的求导，可以使用莱布尼茨积分规则。莱布尼茨积分规则适用于对积分上限或下限含有变量的积分求导。具体来说，如果积分的上下限是变量的函数，那么积分的导数可以通过以下公式计算：

[

frac{d}{dx} left（ int_{a（x）}^{b（x）} f（x,t） , dt right） = f（x,b（x）） cdot b'（x） - f（x,a（x）） cdot a'（x） + int_{a（x）}^{b（x）} frac{partial}{partial x} f（x,t） , dt

]

这个公式是莱布尼茨积分规则的直接应用，其中 （ f ） 是关于 （ x ） 和 （ t ） 的函数，（ a ） 和 （ b ） 是 （ x ） 的函数。

举个例子，如果我们有积分 （ I = int_{0}^{x^2} frac{sin t}{1 + t^2} , dt ），我们可以这样求导：

[

I' = frac{d}{dx} left（ int_{0}^{x^2} frac{sin t}{1 + t^2} , dt right） = frac{sin（x^2）}{1 + x^4} cdot 2x - 0 + int_{0}^{x^2} frac{2xcos（x^2）（1 + t^2） - sin（x^2） cdot 0}{（1 + t^2）^2} , dt

]

由于 （ frac{sin（x^2）}{1 + x^4} cdot 2x ） 是 （ x ） 的函数，而积分中的其他部分与 （ x ） 无关，所以我们可以忽略积分部分。因此，求导的结果是：

[

I' = frac{2xsin（x^2）}{1 + x^4}

]

这就是对给定二重积分求导的方法。