特征多项式的根怎么求

特征多项式的根可以通过求解特征方程来找到，特征方程是将矩阵的特征值与多项式联系起来的关键方程。以下是求特征多项式根的基本步骤：

定义特征多项式

设矩阵 （ A ） 是一个 （ n ） 阶方阵，特征多项式是 （ |A - lambda E| ），其中 （ lambda ） 是未知数，（ E ） 是 （ n ） 阶单位矩阵。

特征方程

特征方程是特征多项式等于零的方程，即：

[ |A - lambda E| = 0 ]

求解特征方程

求解特征方程相当于求解齐次线性方程组 （ （A - lambda E） mathbf{x} = 0 ），其中 （ mathbf{x} ） 是非零向量。

特征根

方程 （ |A - lambda E| = 0 ） 的解即为矩阵 （ A ） 的特征值。

特征向量

对于每一个特征值 （ lambda_i ），对应的特征向量 （ mathbf{x}_i ） 可以通过解方程组 （ （A - lambda_i E） mathbf{x} = 0 ） 得到。

特殊情况

对于正交矩阵，特征多项式关于中心点对称，且特征根可能是实数或复数，数量可能为一对或多对。

对于实对称矩阵，如果存在正交相似变换，则特征根是有理数。

特征多项式的根可以通过代数方法（如使用计算器或数学软件）或数值方法（如牛顿法、二分法等）来求解。