多项式正定二次型怎么求

多项式正定二次型的求法可以通过以下步骤进行：

确定二次型矩阵

将多项式中的各项系数按照对称矩阵的形式排列，形成对称矩阵A。

对于二次型 （ f（x_1, x_2, ldots, x_n） = ax_1^2 + bx_2^2 + ldots + x_n^2 + d_{12}x_1x_2 + ldots + f_{n-1,n}x_{n-1}x_n ），矩阵A的元素为：

[ A_{ii} = a, quad A_{ii} = b, quad ldots, quad A_{nn} = c ]

对于混合项 （ d_{ij}x_ix_j ），矩阵A的元素为：

[ A_{ij} = A_{ji} = frac{d_{ij}}{2} ]

判断正定性

一个二次型是正定的，如果对于所有非零向量 （ mathbf{x} = （x_1, x_2, ldots, x_n）^T ），都有 （ f（mathbf{x}） > 0 ）。

对于矩阵表示的二次型，如果矩阵A的行列式大于0，并且所有顺序主子式也都大于0，则二次型是正定的。

求标准形

通过可逆线性变换，可以将二次型化为标准形，即去掉交叉项，只保留平方项的形式。

标准形可以通过对矩阵A进行合适的正交变换获得，使得A变为对角矩阵。

使用主元法或初等变换

可以使用主元法（如高斯消元法）或初等行变换来求取变换矩阵C和对角化矩阵Λ，从而得到二次型的标准化矩阵。

验证正定性

在得到标准形之后，可以通过检查对角化矩阵Λ的对角元素是否都大于0来验证二次型的正定性。

以上步骤可以帮助你确定一个多项式二次型是否为正定，并且如果需要，还可以将其化为标准形。需要注意的是，正定性的判断和求解过程可能涉及到较为复杂的线性代数知识，包括矩阵理论、特征值和特征向量等概念。