n个n维向量线性相关怎么证

要证明n个n维向量线性相关，我们可以使用以下逻辑和定理：

线性相关定理

向量组线性相关的充要条件是存在不全为零的系数，使得这些向量的线性组合为零向量。

矩阵秩的性质

对于一个矩阵，其秩（rank）表示该矩阵中线性无关的列（或行）的最大数目。

对于一个n维向量组构成的矩阵，其秩最大为n。

证明过程

假设有一个由n个n维向量组成的矩阵A，其列向量组为${mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ..., mathbf{a}_n}$。

如果矩阵A的秩$r（A） < n$，则A中至少有一个向量可以由其他向量线性表示，即向量组线性相关。

如果矩阵A的秩$r（A） = n$，则A中的列向量组线性无关。但是，当我们向这个线性无关的向量组中添加一个额外的向量时，由于向量组的秩最大为n，新添加的向量必然可以由原来的n个向量线性表示，因此整个向量组变得线性相关。

特殊情况下的证明

对于n+1个n维向量，构成的矩阵的秩最多为n，即$r（A） leq n$。

由于秩最大为n，小于向量的个数n+1，所以存在不全为零的系数使得线性组合为零向量，即向量组线性相关。

综上所述，我们可以得出结论：任意n个n维向量组成的向量组是线性相关的。这一结论也可以通过数学归纳法或者直接应用线性相关定理得出