1 n 1为什么是发散

级数 （ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} ） 被认为是发散的，原因如下：

级数项不趋于零：

根据级数收敛的必要条件，如果级数 （ sum_{n=1}^{infty} a_n ） 收敛，则 （ lim_{n to infty} a_n = 0 ）。然而，在 （ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} ） 中，当 （ n to infty ） 时，（ frac{1}{n} to 0 ），这并不满足收敛的必要条件，因为收敛级数的项必须趋于零。

调和级数比较：

调和级数 （ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} ） 的每一项都大于 （ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{2^n} ） 的对应项。而 （ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{2^n} ） 是一个收敛的几何级数，其公比小于1。由于 （ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} ） 的项不趋于零，并且每一项都大于一个收敛级数的对应项，所以 （ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} ） 是发散的。

部分和发散：

对于 （ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} ） 的部分和 （ S_n = sum_{k=1}^{n} frac{1}{k} ），当 （ n to infty ） 时，（ S_n ） 趋向于无穷大。这表明级数的部分和不是有界的，因此级数发散。

综上所述，（ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} ） 是发散的，因为它不满足收敛级数的必要条件，即其项不趋于零，并且其部分和无界地增长