为什么左导数存在

函数在某一点的左导数存在，通常意味着函数在该点左侧连续。具体来说，如果函数`f（x）`在`x=a`处的左导数存在，那么根据导数的定义，极限

lim_{h to 0^-} frac{f（a+h） - f（a）}{h}

必须存在。这个极限存在的充分必要条件是函数`f（x）`在`x=a`处左侧连续，即

lim_{x to a^-} f（x） = f（a）

左导数存在并不要求函数在`x=a`处右侧连续或可导，也就是说，即使右导数不存在，左导数仍然可能存在。例如，考虑函数

f（x） = begin{cases}

2x & text{if } x < 1

frac{2}{3} & text{if } x = 1

x^2 & text{if } x > 1

end{cases}

这个函数在`x=1`处左侧连续（因而左导数存在），但在`x=1`处不连续，所以右导数不存在。

需要注意的是，如果函数在某一点两侧都不连续，或者两侧都可导但导数不相等，那么函数在该点不可导，即左右导数都不存在。