矩阵的特征方程是什么

矩阵的特征方程是一个关于标量λ的多项式方程，它表达了矩阵A的一个关键性质。具体来说，对于一个n阶方阵A，其特征方程是：

|A - λI| = 0

其中，`|A - λI|` 表示矩阵 `A` 减去标量 `λ` 乘以单位矩阵 `I` 之后的行列式，`λ` 是矩阵的特征值，`I` 是同阶的单位矩阵。解这个方程可以得到矩阵 `A` 的所有特征值，这些特征值可以是实数或复数。

特征方程的意义在于，它揭示了矩阵 `A` 对向量的变换效果：如果存在非零向量 `v` 和标量 `λ` 使得 `Av = λv`，那么 `λ` 就是矩阵 `A` 的一个特征值，`v` 是对应于 `λ` 的特征向量。特征值 `λ` 描述了矩阵 `A` 在某个方向上拉伸或压缩向量 `v` 的倍数。

特征方程是线性代数中的一个核心概念，它在解决许多数学和物理问题时都非常重要，比如在求解常系数齐次线性递推数列、常系数齐次线性常微分方程等领域。