为什么绝对收敛必收敛

绝对收敛意味着级数中的每一项取绝对值后仍然收敛。对于幂级数，有一个重要的性质是，如果在某个区间内幂级数收敛，那么在这个区间内它一定是绝对收敛的。这是因为幂级数的收敛半径（radius of convergence）定义了级数绝对收敛的区域。

举个例子，考虑幂级数 （sum_{n=1}^{infty} x^n），其收敛域是 （[-1,1））。在 （x = -1） 这个端点上，级数是条件收敛的，即级数本身收敛，但是级数中各项取绝对值后不收敛。而在 （x = 1） 这个端点上，如果取绝对值，级数变为 （sum_{n=1}^{infty} 1^n），即 （sum_{n=1}^{infty} 1），这是一个发散的级数。

总结一下，幂级数在收敛区间内一定是绝对收敛的，所以只需考虑收敛域在两个端点处的敛散性。如果幂级数在收敛区间的端点上条件收敛，那么这些端点不属于收敛域，级数在这些端点上发散。如果幂级数在收敛区间的端点上绝对收敛，那么这些端点属于收敛域，级数在这些端点上绝对收敛。