为什么相似能推出合同

相似矩阵具有相同的特征值，这是它们相似的一个必要条件。相似矩阵的定义是存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP = B$，其中A和B是相似矩阵。由于特征值是矩阵的一个重要属性，如果两个矩阵相似，它们必然有相同的特征值。

合同的定义则稍微不同，合同矩阵满足$B = PtAP$，其中P是一个可逆矩阵，并且$P^TAP = D$，D是对角矩阵。合同的充要条件是正负惯性系数相同，即正特征值的个数等于负特征值的个数，且零特征值的个数也相同。

在实对称矩阵的情况下，相似矩阵一定合同，因为实对称矩阵可以通过正交变换对角化，即存在一个正交矩阵P，使得$P^TAP = D$，其中D是对角矩阵。在这种情况下，相似变换和合同变换的效果是一样的，因为它们都保持了对称矩阵的形式不变。

然而，对于一般的矩阵，相似并不一定意味着合同。虽然相似矩阵具有相同的特征值，但相似变换中的可逆矩阵P不一定是正交矩阵，即不一定满足$P^TP = I$。如果P不是正交矩阵，那么即使A和B相似，它们也不一定合同。

总结来说，相似矩阵不一定合同，因为相似变换中的可逆矩阵P不一定是正交矩阵。只有在实对称矩阵的特殊情况下，相似矩阵才一定合同